设 $f\in C[0,1]$ (即 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续), 且在 $(0,1)$ 上可微, 若有 $\dps{8\int_\frac{7}{8}^1 f(x)\rd x=f(0)}$, 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f'(\xi)=0$. (北京大学)

 

证明: 由积分中值定理, $$\bex \exists\ \eta\in \sex{\frac{7}{8},1},\st 8\int_\frac{7}{8}^1 f(x)\rd x=f(\eta). \eex$$ 再由 Rolle 定理, $\exists\ \xi\in (0,\eta),\st f'(\xi)=0$.